Gjeometria jo-Euklidiane

Në matematikë, gjeometria jo-Euklidiane përbëhet nga dy gjeometri të bazuara në aksioma të lidhura ngushtë me ato që specifikojnë gjeometrinë Euklidiane . Meqenëse gjeometria Euklidiane shtrihet në kryqëzimin e gjeometrisë metrike dhe gjeometrisë afine, gjeometria jo-Euklidiane lind duke zëvendësuar postulatin e paralelizmit me një alternativë ose duke relaksuar kërkesën metrike. Në rastin e parë, përftohet gjeometria hiperbolike dhe gjeometria eliptike, gjeometritë tradicionale jo-Euklidiane. Kur kërkesa metrike është e relaksuar, atëherë ka plane afine të lidhura me algjebrat planare, të cilat krijojnë gjeometri kinematike që janë quajtur edhe gjeometri jo-Euklidiane.

Sjellja e drejtëzave me një pungule në të treja llojet e gjeometrisë

Parimet

Dallimi thelbësor midis gjeometrive metrike është natyra e vijave paralele . Postulati i pestë i Euklidit, postulati i paralelizmit, është i njëvlershëm me postulatin e Playfair, i cili thotë se, brenda një rrafshi dydimensional, për çdo vijë të caktuar l dhe një pikë A, e cila nuk është në l, ka saktësisht një drejtëz përmes A. që nuk pritet me l . Në gjeometrinë hiperbolike, përkundrazi, ka pafundësisht shumë drejtëza përmes A që nuk priten me l, ndërsa në gjeometrinë eliptike, çdo drejtëz përmes A e pret l .

Një mënyrë tjetër për të përshkruar ndryshimet midis këtyre gjeometrive është të konsideroni dy drejtëza të zgjatura pafundësisht në një plan dy-dimensional që të dyja janë pingul me një vijë të tretë (në të njëjtin plan):

Në gjeometrinë Euklidiane, vijat mbeten në një largësi konstante nga njëra-tjetra (që do të thotë se një drejtëz e tërhequr pingul me një drejtëz në çdo pikë do të presë vijën tjetër dhe gjatësia e segmentit të vijës që bashkon pikat e kryqëzimit mbetet konstante) dhe janë të njohura. si paralele.
Në gjeometrinë hiperbolike, ato "lakohen" nga njëra-tjetra, duke u rritur në largësi ndërsa dikush lëviz më tej nga pikat e kryqëzimit me pingulen e përbashkët; këto vija shpesh quhen ultraparalele .
Në gjeometrinë eliptike, vijat "lakohen drejt" njëra-tjetrës dhe priten.

Zbulimi i gjeometrisë jo-Euklidiane

Fillimi i shekullit të 19-të më në fund do të dëshmonte hapa vendimtarë në krijimin e gjeometrisë jo-Euklidiane. Rreth vitit 1813, Carl Friedrich Gauss dhe në mënyrë të pavarur rreth vitit 1818, profesori gjerman i juridikut Ferdinand Karl Schweikart ^[1] kishin zhvilluar idetë mbizotëruese të gjeometrisë jo-Euklidiane, por asnjëri nuk publikoi ndonjë rezultat. Nipi i Schweikart , Franz Taurinus, botoi rezultate të rëndësishme të trigonometrisë hiperbolike në dy gazeta në 1825 dhe 1826, megjithëse duke pranuar konsistencën e brendshme të gjeometrisë hiperbolike, ai ende besonte në rolin e veçantë të gjeometrisë Euklidiane. ^[2]

Më pas, në 1829-1830, matematikani rus Nikolai Ivanovich Lobachevsky dhe në 1832 matematikani hungarez János Bolyai botuan veçmas dhe në mënyrë të pavarur traktate mbi gjeometrinë hiperbolike. Rrjedhimisht, gjeometria hiperbolike quhet gjeometria Llobaçevskiane ose Boljai-Llobaçevskiane, pasi të dy matematikanët, të pavarur nga njëri-tjetri, janë autorët bazë të gjeometrisë jo-Euklidiane. Gausi i përmendi babait të Boljait, kur iu tregua puna e Boljait më të ri se ai, se ai kishte zhvilluar një gjeometri të tillë disa vite më parë, ^[3]megjithëse nuk e kishte publikuar. Ndërsa Lobachevsky krijoi një gjeometri jo-Euklidiane duke mohuar postulatin paralel, Bolyai përpunoi një gjeometri ku si gjeometria Euklidiane ashtu edhe ajo hiperbolike janë të mundshme në varësi të një parametri k . Bolyai e përfundon punën e tij duke përmendur se nuk është e mundur të vendoset vetëm përmes arsyetimit matematik nëse gjeometria e universit fizik është Euklidiane apo jo-Euklidiane; kjo është një detyrë për shkencat fizike.

Bernhard Riemann, në një leksion të famshëm në 1854, themeloi fushën e gjeometrisë Riemanniane, duke diskutuar në veçanti idetë që tani quhen durth, metrika e Rimanit dhe kurbatura . Ai ndërtoi një familje të pafundme gjeometrish jo-Euklidiane duke dhënë një formulë për një familje metrikash Rimaniane në topin e njësisë në hapësirën Euklidiane . Më e thjeshta prej tyre quhet gjeometria eliptike dhe konsiderohet një gjeometri jo-Euklidiane për shkak të mungesës së vijave paralele. ^[4]

Baza aksiomatike e gjeometrisë jo-Euklidiane

Për të marrë një gjeometri jo-Euklidiane, postulati i paralelizmit (ose i njëvlershmi i tij) duhet të zëvendësohet me mohimin e tij. Refuzimi i formës së aksiomës së Playfair-it, meqenëse është një pohim i përbërë (... ekziston një dhe vetëm një ...), mund të bëhet në dy mënyra:

Ose do të ekzistojë më shumë se një drejtëz përmes pikës, paralele me drejtëzën e dhënë ose nuk do të ekzistojë asnjë drejtëz përmes pikës, paralele me drejtëzën e dhënë. Në rastin e parë, duke zëvendësuar postulatin paralel (ose ekuivalentin e tij) me pohimin "Në një rrafsh, duke pasur parasysh një pikë P dhe një drejtëz l që nuk kalojnë nga P, ekzistojnë dy drejtëza përmes P, të cilat nuk takohen l " dhe duke mbajtur të gjitha aksiomat e tjera, jep gjeometrinë hiperbolike . ^[5]
Rasti i dytë nuk trajtohet aq lehtë. Thjesht zëvendësimi i postulatit paralel me pohimin, "Në një plan, duke pasur parasysh një pikë P dhe një drejtëz l që nuk kalon nga P, të gjitha drejtëzat përmes P takohen me l ", nuk jep një grup të qëndrueshëm aksiomash. Kjo rrjedh pasi drejtëzat paralele ekzistojnë në gjeometrinë absolute, ^[6] por kjo deklaratë pohon se nuk ka drejtëza paralele. Ky problem ishte i njohur për Khayyam, Saccheri dhe Lambert dhe ishte baza për refuzimin e tyre të asaj që njihej si "rasti i këndit të trashë". Për të marrë një grup të qëndrueshëm aksiomash që përfshin këtë aksiomë për të mos pasur vija paralele, disa aksioma të tjera duhet të rregullohen. Këto rregullime varen nga sistemi i aksiomës së përdorur. Ndër të tjera, këto ndryshime kanë efektin e modifikimit të postulatit të dytë të Euklidit nga pohimi se segmentet e vijave mund të zgjerohen pafundësisht në deklaratën se linjat janë të pakufishme. Gjeometria eliptike e Riemann -it del si gjeometria më natyrale që plotëson këtë aksiomë.

Modelet

Në një sferë, shuma e këndeve të një trekëndëshi nuk është e barabartë me 180°. Sipërfaqja e një sfere nuk është një hapësirë Euklidiane, por në nivel vendor ligjet e gjeometrisë Euklidiane janë përafrime të mira. Në një trekëndësh të vogël në faqen e tokës, shuma e këndeve është shumë afër 180°.

Modelet e gjeometrisë jo-Euklidiane janë modele matematikore të gjeometrive të cilat janë jo-Euklidiane në kuptimin që nuk është rasti që saktësisht një drejtëz mund të vizatohet paralelisht me një drejtëz të caktuar l përmes një pike që nuk është në l . Në modelet gjeometrike hiperbolike, përkundrazi, ka pafundësisht shumë vija përmes A paralele me l, dhe në modelet gjeometrike eliptike, linjat paralele nuk ekzistojnë. (Shihni shënimet mbi gjeometrinë hiperbolike dhe gjeometrinë eliptike për më shumë informacion.)

Gjeometria hiperbolike

Edhe pas punës së Llobaçevskit, Gausit dhe Boljait, pyetja mbeti: "A ekziston një model i tillë për gjeometrinë hiperbolike ?". Modeli për gjeometrinë hiperbolike u përgjigj nga Eugenio Beltrami, në 1868, i cili tregoi për herë të parë se një sipërfaqe e quajtur pseudosferë ka kubaturën e duhur për të modeluar një pjesë të hapësirës hiperbolike dhe në një punim të dytë në të njëjtin vit, përcaktoi modelin Klein, i cili modelon tërësinë e hapësirës hiperbolike dhe e përdori këtë për të treguar se gjeometria Euklidiane dhe gjeometria hiperbolike ishin ekuikonsistente, kështu që gjeometria hiperbolike ishte logjikisht e qëndrueshme nëse dhe vetëm nëse gjeometria Euklidiane ishte. (Implikimi i kundërt rrjedh nga modeli i horosferës së gjeometrisë Euklidiane.)

Karakteristikat e pazakonta

Katërkëndëshi i Lambertit në gjeomtrinë hiperbolike

Katërkëndëshat Saccheri në tre gjeometri

Gjeometritë Euklidiane dhe jo-Euklidiane kanë natyrisht shumë veti të ngjashme, domethënë ato që nuk varen nga natyra e paralelizmit. Kjo e përbashkët është subjekt i gjeometrisë absolute (e quajtur edhe gjeometri neutrale ). Megjithatë, veçoritë që dallojnë një gjeometri nga të tjerat kanë marrë historikisht vëmendjen më të madhe.

Përveç sjelljes së drejtëzave në lidhje me një pingule të përbashkët, të përmendur në hyrje, kemi edhe sa vijon:

Një katërkëndësh Lambert është një katërkëndësh me tre kënde të drejta. Këndi i katërt i katërkëndëshit të Lambertit është akut nëse gjeometria është hiperbolike, kënd i drejtë nëse gjeometria është Euklidiane ose i mpirë nëse gjeometria është eliptike. Rrjedhimisht, drejtkëndëshat ekzistojnë (një deklaratë ekuivalente me postulatin paralel) vetëm në gjeometrinë Euklidiane.
Një katërkëndësh Saccheri është një katërkëndësh me dy brinjë me gjatësi të barabartë, të dyja pingul me një anë të quajtur bazë . Dy këndet e tjera të një katërkëndëshi Saccheri quhen kënde të majës dhe kanë masë të barabartë. Këndet e majës së një katërkëndëshi Saccheri janë akute nëse gjeometria është hiperbolike, kënde të drejta nëse gjeometria është Euklidiane dhe kënde të mprehta nëse gjeometria është eliptike.
Shuma e masave të këndeve të çdo trekëndëshi është më e vogël se 180° nëse gjeometria është hiperbolike, e barabartë me 180° nëse gjeometria është Euklidiane dhe më e madhe se 180° nëse gjeometria është eliptike. Defekti i një trekëndëshi është vlera numerike (180° − shuma e masave të këndeve të trekëndëshit). Ky rezultat mund të shprehet gjithashtu si:
- defekti i trekëndëshave në gjeometrinë hiperbolike është pozitiv
- defekti i trekëndëshave në gjeometrinë Euklidiane është zero
- defekti i trekëndëshave në gjeometrinë eliptike është negativ.

Rëndësia

Përpara se modelet e një plani jo-Euklidian të paraqiteshin nga Beltrami, Klein dhe Poincaré, gjeometria Euklidiane qëndronte e pakundërshtueshme si modeli matematikor i hapësirës, pikëpamja Euklidiane përfaqësonte autoritetin absolut.

Zbulimi i gjeometrive jo-Euklidiane pati një efekt valëzues që shkoi shumë përtej kufijve të matematikës dhe shkencës. Trajtimi i filozofit Immanuel Kant i njohurive njerëzore kishte një rol të veçantë për gjeometrinë. Ishte shembulli i tij kryesor i njohurive sintetike a priori; nuk rrjedhin nga shqisat dhe as të deduktuara përmes logjikës — njohuritë tona për hapësirën ishin një e vërtetë me të cilën kemi lindur. Fatkeqësisht për Kantin, koncepti i tij për këtë gjeometri të pandryshueshme të vërtetë ishte Euklidian. Teologjia u ndikua gjithashtu nga ndryshimi nga e vërteta absolute në të vërtetën relative në mënyrën se si matematika lidhet me botën përreth saj, që ishte rezultat i këtij ndryshimi të paradigmës. ^[7]

Gjeometria jo-Euklidiane është një shembull i një revolucioni shkencor në historinë e shkencës, në të cilin matematikanët dhe shkencëtarët ndryshuan mënyrën se si i shikonin subjektet e tyre. ^[8] Disa gjeometër e quajtën Llobaçevskin " Koperniku i Gjeometrisë" për shkak të karakterit revolucionar të veprës së tij. ^[9]

Algjebra planare

Në gjeometrinë analitike, një plan përshkruhet me koordinata karteziane :

C=\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}

Pikat ndonjëherë identifikohen me numra kompleks z = x + y ε ku ε ² ∈ { –1, 0, 1}.

Rrafshi Euklidian korrespondon me rastin ε^2 = − 1 pasi moduli i z jepet nga

zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(x-y\epsilon )=x^{2}+y^{2}

dhe kjo madhësi është katrori i largësisë Euklidiane ndërmjet z dhe origjinës. Për shembull, {z | zz * = 1} është rrethi njësi .

Për algjebrën planare, gjeometria jo-Euklidiane lind në rastet e tjera. Kur ε^2 = +1, atëherë z është një numër kompleks i ndarë dhe në mënyrë konvencionale j zëvendëson epsilonin. Atëherë

zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(x-y\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!

dhe {z | zz * = 1} është hiperbola njësi .

Kur ε^2 = 0, atëherë z është një numër i dyfishtë . ^[10]

Kjo qasje ndaj gjeometrisë jo-Euklidiane shpjegon këndet jo-Euklidiane: parametrat e pjerrësisë në rrafshin me numra të dyfishtë dhe këndi hiperbolik në rrafshin e ndarë-kompleks korrespondojnë me këndin në gjeometrinë Euklidiane. Në të vërtetë, secila prej tyre lind në zbërthimin polar të një numri kompleks z . ^[11]

Gjeometritë kinematike

Gjeometria hiperbolike gjeti një zbatim në kinematikë me kozmologjinë fizike të prezantuar nga Hermann Minkowski në 1908. Minkowski futi terma si bota dhe koha e duhur në fizikën matematikore . Ai kuptoi se nëndurthi, i ngjarjeve një çast të kohës së duhur në të ardhmen, mund të konsiderohet një hapësirë hiperbolike me tre dimensione. ^[12] ^[13] Tashmë në vitet 1890, Alexander Macfarlane po e përshkruaj këtë nëndurth përmes Algjebrës së tij të Fizikës dhe kuaternioneve hiperbolike, megjithëse Macfarlane nuk përdori gjuhën kozmologjike siç bëri Minkowski në 1908. Struktura përkatëse tani quhet modeli hiperboloid i gjeometrisë hiperbolike.

Algjebrat planare jo-Euklidiane mbështesin gjeometritë kinematike në rrafsh. Për shembull, numri i kompleksit të ndarë z = e ^{a j} mund të përfaqësojë një ngjarje hapësirë-kohore një moment në të ardhmen e një kuadri referimi me shpejtësi a . Për më tepër, shumëzimi me z arrin në një nxitje të Lorencit duke hartuar kornizën me shpejtësi zero në atë me shpejtësi a .

Studimi kinematik përdor numrat e dyfishtë $z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,$ për të paraqitur përshkrimin klasik të lëvizjes në kohë dhe hapësirë absolute : Ekuacionet $x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t$ janë ekuivalente me një hartë prerëse në algjebër lineare:

{\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.

Me numra të dyfishtë hartëzimi është $t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .$

Një tjetër pikëpamje e relativitetit special si një gjeometri jo-Euklidiane u përparua nga E. B. Wilson dhe Gilbert Lewis në Procedurat e Akademisë Amerikane të Arteve dhe Shkencave në 1912. Ata rindërtuan gjeometrinë analitike të nënkuptuar në algjebrën e numrave komplekse të ndarë në gjeometrinë sintetike të premisave dhe deduksioneve. ^[14] ^[15]

^ In a letter of December 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780–1859) sketched a few insights into non-Euclidean geometry. The letter was forwarded to Gauss in 1819 by Gauss's former student Gerling. In his reply to Gerling, Gauss praised Schweikart and mentioned his own, earlier research into non-Euclidean geometry. See:
^ Bonola, R. (1912). Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development. Chicago: Open Court. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ In the letter to Wolfgang (Farkas) Bolyai of March 6, 1832 Gauss claims to have worked on the problem for thirty or thirty-five years (Faber 1983). In his 1824 letter to Taurinus (Faber 1983) he claimed that he had been working on the problem for over 30 years and provided enough detail to show that he actually had worked out the details. According to Faber (1983) it wasn't until around 1813 that Gauss had come to accept the existence of a new geometry.
^ However, other axioms besides the parallel postulate must be changed to make this a feasible geometry.
^ while only two lines are postulated, it is easily shown that there must be an infinite number of such lines.
^ Book I Proposition 27 of Euclid's Elements
^ Imre Toth, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse," Evolutionstheorie und ihre Evolution, Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, band 7, 1982) pp. 141–204.
^ see Trudeau 1987
^ This is a quote from G. B. Halsted's translator's preface to his 1914 translation of The Theory of Parallels: "What Vesalius was to Galen, what Copernicus was to Ptolemy that was Lobachevsky to Euclid." — W. K. Clifford
^ Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, translated by E. Primrose from 1963 Russian original, appendix "Non-Euclidean geometries in the plane and complex numbers", pp 195–219, Academic Press, N.Y.
^ Richard C. Tolman (2004) Theory of Relativity of Motion, page 194, §180 Non-Euclidean angle, §181 Kinematical interpretation of angle in terms of velocity
^ Hermann Minkowski (1908–9). "Space and Time" (Wikisource).
^ Scott Walter (1999) Non-Euclidean Style of Special Relativity Arkivuar 16 tetor 2013 tek Wayback Machine
^ Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507
^ Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Archived by WebCite

[1] In a letter of December 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780–1859) sketched a few insights into non-Euclidean geometry. The letter was forwarded to Gauss in 1819 by Gauss's former student Gerling. In his reply to Gerling, Gauss praised Schweikart and mentioned his own, earlier research into non-Euclidean geometry. See:

[2] Bonola, R. (1912). Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development. Chicago: Open Court. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] In the letter to Wolfgang (Farkas) Bolyai of March 6, 1832 Gauss claims to have worked on the problem for thirty or thirty-five years (Faber 1983). In his 1824 letter to Taurinus (Faber 1983) he claimed that he had been working on the problem for over 30 years and provided enough detail to show that he actually had worked out the details. According to Faber (1983) it wasn't until around 1813 that Gauss had come to accept the existence of a new geometry.

[4] However, other axioms besides the parallel postulate must be changed to make this a feasible geometry.

[5] while only two lines are postulated, it is easily shown that there must be an infinite number of such lines.

[6] Book I Proposition 27 of Euclid's Elements

[7] Imre Toth, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse," Evolutionstheorie und ihre Evolution, Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, band 7, 1982) pp. 141–204.

[8] see Trudeau 1987

[9] This is a quote from G. B. Halsted's translator's preface to his 1914 translation of The Theory of Parallels: "What Vesalius was to Galen, what Copernicus was to Ptolemy that was Lobachevsky to Euclid." — W. K. Clifford

[10] Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, translated by E. Primrose from 1963 Russian original, appendix "Non-Euclidean geometries in the plane and complex numbers", pp 195–219, Academic Press, N.Y.

[11] Richard C. Tolman (2004) Theory of Relativity of Motion, page 194, §180 Non-Euclidean angle, §181 Kinematical interpretation of angle in terms of velocity

[12] Hermann Minkowski (1908–9). "Space and Time" (Wikisource).

[13] Scott Walter (1999) Non-Euclidean Style of Special Relativity Arkivuar 16 tetor 2013 tek Wayback Machine

[14] Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507

[15] Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Archived by WebCite

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]