Shpërndarja uniforme e vazhdueshme

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarjet e vazhdueshme uniforme ose shpërndarjet drejtkëndore janë një familje shpërndarjesh probabiliteti simetrike . Një shpërndarje e tillë përshkruan një eksperiment ku ka një rezultat arbitrar që shtrihet midis kufijve të caktuar. Kufijtë përcaktohen nga parametrat, $a$ dhe $b,$ të cilat janë vlerat minimale dhe maksimale. Intervali mund të jetë i mbyllur (d.m.th $[a,b]$ ) ose i hapur (d.m.th $(a,b)$ ). Prandaj, shpërndarja shpesh shkurtohet si $U(a,b),$ ku $U$ qëndron për shpërndarjen uniforme. Ndryshimi ndërmjet kufijve përcakton gjatësinë e intervalit; të gjitha intervalet me të njëjtën gjatësi në bashkësinë e përcaktimit të shpërndarjes janë njësoj të mundshëm. Është shpërndarja e probabilitetit me entropi maksimale për një ndryshore të rastit $X$ nën asnjë kufizim tjetër , përveç se të jetë i përfshirë në BP e shpërndarjes.

${\mathbf {\text{Shpërndarja uniforme e vazhdueshme }}}$${\mathbf {{\text{me parametra }}{\mathcal {a}}{\text{dhe }}{\mathcal {b}}}}$

Probability density function Duke përdorur konventën maksimale
Cumulative distribution function
Simboli	${\mathcal {U}}_{[a,b]}$
Parametrat	$-\infty <a<b<\infty$
Mbështetës	$[a,b]$
FDGJ	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{për }}x\in [a,b]\\0&{\text{ndryshe }}\end{cases}}$
FGSH	${\begin{cases}0&{\text{për }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{për }}x\in [a,b]\\1&{\text{për }}x>b\end{cases}}$
Vlera e pritur	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Mediana	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Moda	${\text{çdo vlerë në }}(a,b)$
Varianca	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
DMA	${\tfrac {1}{4}}(b-a)$
Shtrirja	$0$
Kurtoza e tepërt	$-{\tfrac {6}{5}}$
Entropia	$\ln(b-a)$
FGJM	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{për }}t\neq 0\\1&{\text{për }}t=0\end{cases}}$
FK	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(b-a)}}&{\text{për }}t\neq 0\\1&{\text{për }}t=0\end{cases}}$

Përkufizimet

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni i densitetit të probabilitetit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme është:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{për }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{për }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}$

Vlerat e $f(x)$ në dy kufijtë $a$ dhe $b$ zakonisht janë të parëndësishme, sepse nuk e ndryshojnë vlerën e ${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$ mbi çdo interval $[c,d],$ as të ${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)dx,}$ as të ndonjë momenti më të lartë. Ndonjëherë ato zgjidhen të jenë zero, dhe ndonjëherë zgjidhen të jenë ${\tfrac {1}{b-a}}.$ Kjo e fundit është e përshtatshme në kontekstin e vlerësimit me metodën e përgjasisë maksimale . Në kontekstin e analizës Furje, mund të merret vlera e $f(a)$ ose $f(b)$ baraz me ${\tfrac {1}{2(b-a)}},$ sepse atëherë transformimi i anasjelltë i shumë transformimeve integrale të këtij funksioni uniform do të japë mbrapsht funksionin në vetvete, në vend të një funksioni që është i barabartë " pothuajse kudo ", dmth me përjashtim të një grupi pikash me masë zero. Gjithashtu, është në përputhje me funksionin e shenjës, i cili nuk ka një paqartësi të tillë.

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Funksioni mbledhës i shpërndarjes së shpërndarjes uniforme të vazhdueshme është:

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{për }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{për }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{për }}x>b.\end{cases}}$

I anasjellti i tij është:

$F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.$

Shembulli 1. Përdorimi i funksionit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme

Për një ndryshore të rastit $X\sim U(0,23),$ Gjej $P(2<X<18):$

$P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}.$

Në një paraqitje grafike të funksionit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme $[f(x){\text{ vs }}x],$ zona nën kurbë brenda kufijve të specifikuar, duke shfaqur probabilitetin, është një drejtkëndësh.

Shembulli 2. Përdorimi i funksionit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme (të kushtëzuar)

Për një ndryshore të rastësishme $X\sim U(0,23),$ Gjej $P(X>12\ |\ X>8):$

$P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}.$

Gjenerimi i funksioneve

Funksioni i gjenerimit të momentit

Funksioni gjenerues i momentit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme është:

$M_{X}=\mathrm {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{tx}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {B^{t}-A^{t}}{t(b-a)}},$

Vetitë

Momente

Mesatarja ( momenti i parë i papërpunuar) e shpërndarjes uniforme të vazhdueshme është:

$E(X)=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}.$

Momenti i dytë i papërpunuar i kësaj shpërndarjeje është:

$E(X^{2})=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.$

Në përgjithësi, $n$ -Momenti i parë i kësaj shpërndarjeje është:

$E(X^{n})=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.$

Varianca ( momenti i dytë qendror ) i kësaj shpërndarjeje është:

$V(X)=E\left({\big (}X-E(X){\big )}^{2}\right)=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X$ ka një shpërndarje standarde uniforme, atëherë me metodën e kampionimit të transformimit të anasjelltë, $Y=-{\frac {\ln(X)}{\lambda }}$ ka një shpërndarje eksponenciale me parametër (normë) λ .
• Nëse $X$ ka një shpërndarje standarde uniforme, atëherë $Y=X^{n}$ ka një shpërndarje beta me parametra $(1/n,1)$.
• Shpërndarja uniforme standarde është një rast i veçantë i shpërndarjes beta, me parametrat ${\text{Beta}}(1,1)$.
• Shpërndarja Irwin–Hall është shuma e n iid shpërndarjeve $U(0,1)$.
• Shuma e dy shpërndarjeve të pavarura uniforme, të shpërndara në mënyrë të barabartë, jep një shpërndarje trekëndore simetrike.
• Largësia midis dy ndryshoreve të rastit iid uniforme ka gjithashtu një shpërndarje trekëndore, megjithëse jo simetrike.

Konkluzioni statistikor

Vlerësimi i parametrave

Vlerësuesi i përgjasisë maksimale

Vlerësuesi i përgjasisë maksimale është:

${\hat {b}}_{ML}=m,$

ku $m$ është maksimumi i kampionit, i shënuar gjithashtu si $m=X_{(n)},$ statistikat e rendit maksimal të kampionit.

Intervali i besimit

Për maksimumin

Le të jetë $X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}$ një popullim nga $U_{[0,L]},$ ku $L$ është vlera maksimale në popullatë. Atëherë $X_{(n)}=\max(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})$ ka densitetin Lebesgue-Borel $f={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}:$

$f(t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}\!=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0,L]}(t),$ ku $1\!\!1_{[0,L]}$ është funksioni tregues i $[0,L].$

Intervali i besimit i dhënë më parë është matematikisht i pasaktë, pasi

$\Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha$

nuk mund të zgjidhet për $\varepsilon$ pa dijeninë e $\theta$ . Megjithatë, mund të zgjidhet

$\Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha$ për $\varepsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1$ për çdo $\theta ;$ të panjohur por të vlefshme.

pastaj zgjidhet $\varepsilon$ më e vogël e mundur që plotëson kushtin e mësipërm. Vini re se gjatësia e intervalit varet nga ndryshorja e rastit ${\hat {\theta }}.$

Ndodhja dhe zbatimet

Probabilitetet për funksionin e shpërndarjes uniforme janë të thjeshta për t'u llogaritur për shkak të thjeshtësisë së formës së funksionit. Prandaj, ekzistojnë zbatime të ndryshme për të cilat kjo shpërndarje mund të përdoret siç tregohet më poshtë: situatat e testimit të hipotezave, rastet e kampionimit të rastësishëm, financat, etj. Për më tepër, në përgjithësi, eksperimentet me origjinë fizike ndjekin një shpërndarje uniforme (p.sh. emetimi i grimcave radioaktive). Megjithatë, është e rëndësishme të theksohet se në çdo aplikim, ekziston supozimi i pandryshueshëm se probabiliteti i rënies në një interval me gjatësi fikse, është konstante.