Shpërndarja hipergjeometrike

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja hipergjeometrike është një shpërndarje diskrete probabiliteti që përshkruan probabilitetin e $k$ sukseseve (tërheqjet e rastit për të cilat objekti i tërhequr ka një veçori të caktuar) në $n$ tërheqje pa zëvendësim, nga një popullsi e kufizuar me madhësi $N$ që përmban saktësisht $K$ objekte me atë veçori, ku çdo tërheqje është ose një sukses ose një dështim. Në të kundërt, shpërndarja binomiale përshkruan probabilitetin e $k$ sukseseve në $n$ tërheqje me zëvendësim.

Hipergjeometrike

Probability mass function
Cumulative distribution function
Parametrat	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
FMGJ	${{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
FGSH	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],$ ku $\,_{p}F_{q}$ është funksioni hipergjeometrik i përgjithësuar
Vlera e pritur	$n{K \over N}$
Moda	$\left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Varianca	$n{K \over N}{N-K \over N}{N-n \over N-1}$
Shtrirja	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Kurtoza e tepërt	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+{}$ ${}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}$

Përkufizimet

Funksioni i masës së probabilitetit

Kushtet e mëposhtme karakterizojnë shpërndarjen hipergjeometrike:

• Rezultati i çdo tërheqje (elementet e popullatës që janë marrë në popullim) mund të klasifikohet në një nga dy kategoritë ndërsjellazi përjashtuese (p.sh. Kalon/Dështon ose i Punësuar/I papunësuar).
• Probabiliteti i një suksesi ndryshon në çdo tërheqje, pasi çdo tërheqje zvogëlon popullsinë ( kampionimi pa zëvendësim nga një popullsi e fundme).

Një ndryshore e rastit $X$ ndjek shpërndarjen hipergjeometrike nëse funksioni i masës së probabilitetit të tij (fmp) jepet nga

$p_{X}(k)=\Pr(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},$

ku

• $N$ është madhësia e popullsisë,
• $K$ është numri i gjëndjeve të suksesshme në popullatë,
• $n$ është numri i barazimeve (dmth. sasia e tërhequr në çdo provë),
• $k$ është numri i sukseseve të vërejtura,
• ${\textstyle \textstyle {a \choose b}}$ është një koeficient binomial .

FMP është pozitiv kur $\max(0,n+K-N)\leq k\leq \min(K,n)$ .

Një ndryshore e rastit e shpërndarë hipergjeometrikisht me parametra $N$, $K$ dhe $n$ shkruhet si ${\textstyle X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)}$ dhe ka funksion të masës së probabilitetit ${\textstyle p_{X}(k)}$ si më sipër.

Vetitë

Shembull pune

Zbatimi klasik i shpërndarjes hipergjeometrike është kampionimi pa zëvendësim . Mendoni një vazo me dy ngjyra mermeri, të kuqe dhe të gjelbër. Përcaktoni tërheqjen e një mermeri të gjelbër si sukses (S) dhe tërheqjen e një mermeri të kuq si dështim (K) (analoge me shpërndarjen binomiale). Nëse ndryshorja $N$ përshkruan numrin e të gjithë mermerëve në vazo dhe $K$ përshkruan numrin e mermerëve të gjelbër, atëherë $N-K$ korrespondon me numrin e mermerëve të kuq . Në këtë shembull, $X$ është ndryshorja e rastit, rezultati i së cilës është $k$, numri i mermerëve të gjelbër të nxjerrë në eksperiment. Kjo situatë ilustrohet nga tabela e mëposhtme e rasteve :

	tërhequr	ngelur në vazo	total
mermerët e gjelbër	k	K − k	K
mermerët e kuq	n − k	N + k − n − K	N - K
total	n	N − n	N

Tani, supozoni (për shembull) se ka 5 mermerë të gjelbër dhe 45 të kuq në urnë (vazo). Duke qëndruar pranë vazos, ju mbyllni sytë dhe tërhiqni 10 mermerë pa zëvendësim. Sa është probabiliteti që saktësisht 4 nga 10 janë të gjelbër? Vini re se megjithëse po vëzhgojmë sukses/dështim, të dhënat nuk modelohen saktë nga shpërndarja binomiale, sepse probabiliteti i suksesit në çdo provë nuk është i njëjtë, pasi madhësia e popullsisë së mbetur ndryshon ndërsa heqim çdo mermer.

Ky problem përmblidhet nga tabela e mëposhtme e kontigjencës:

	tërhequr	pa tërhequr	total
mermerët e gjelbër	k = 4	K − k = 1	K = 5
mermerët e kuq	n − k = 6	N + k − n − K = 39	N − K = 45
total	n = 10	N − n = 40	N = 50

Probabiliteti për të nxjerrë saktësisht $k$ mermerë të gjelbër mund të llogaritet me formulën

$P(X=k)=f(k;N,K,n)={{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.$

Prandaj, në këtë shembull llogaritni

$P(X=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}={5\cdot 8145060 \over 10272278170}=0.003964583\dots .$

Intuitivisht ne do të prisnim që të ishte edhe më e pamundur që të 5 mermerët e gjelbër të jenë në mesin e 10 të tërhequrve.

$P(X=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}={1\cdot 1221759 \over 10272278170}=0.0001189375\dots ,$

Siç pritej, probabiliteti i tërheqjes së 5 mermerëve të gjelbër është afërsisht 35 herë më pak i mundshëm se ai i tërheqjes së 4 prej tyre.

Simetritë

Ndërrimi i roleve të mermerëve të gjelbër dhe të kuq:

$f(k;N,K,n)=f(n-k;N,N-K,n)$

Ndërrimi i roleve të mermerëve të tërhequr dhe jo të tërhequr:

$f(k;N,K,n)=f(K-k;N,K,N-n)$

Ndërrimi i roleve të mermerëve të gjelbër dhe të tërhequr:

$f(k;N,K,n)=f(k;N,n,K)$

Këto simetri gjenerojnë grupin dihedral $D_{4}$ .

Kufijtë e bishtit

Le të jetë $X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)$ dhe $p=K/N$ . Pastaj për $0<t<nK/N$ mund të nxjerrim kufijtë e mëposhtëm:

${\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p-t\parallel p)}\leq e^{-2t^{2}n}\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p+t\parallel p)}\leq e^{-2t^{2}n}\\\end{aligned}}\!$

ku

$D(a\parallel b)=a\log {\frac {a}{b}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-b}}$

është divergjenca Kullback-Leibler dhe përdoret se $D(a\parallel b)\geq 2(a-b)^{2}$ .

Nëse $n$ është më e madhe se $N/2$, mund të jetë e dobishme të aplikoni simetri për të "përmbysur" kufijtë, të cilët japin sa vijon:

${\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p+{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}}\\\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p-{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}}\\\end{aligned}}\!$

Konkluzioni statistikor

Testi hipergjeometrik

Testi hipergjeometrik përdor shpërndarjen hipergjeometrike për të matur rëndësinë statistikore të tërheqjes së një popullimi të përbërë nga një numër specifik $k$ suksesesh (nga $n$ tërheqjet totale) nga një popullsi me madhësi $N$ që përmban $K$ sukseset. Në një test për mbipërfaqësimin e sukseseve në kampion, vlera p hipergjeometrike llogaritet si probabilitet i tërheqjes në mënyrë të rastësishme të $k$ ose më shumë sukseseve nga popullata në $n$ tërheqjet totale. Në një test për nënpërfaqësim, vlera p është probabiliteti i tërheqjes së rastësishme të $k$ ose më pak sukseseve.

Biologu dhe statisticieni Ronald Fisher

Testi i bazuar në shpërndarjen hipergjeometrike (testi hipergjeometrik) është identik me versionin përkatës me një bisht të testit ekzakt të Fisherit .

Testi përdoret shpesh për të identifikuar se cilat nën-popullata janë të mbi ose nën-përfaqësuara në një popullim. Ky test ka një gamë të gjerë zbatimesh. Për shembull, një grup marketingu mund të përdorë testin për të kuptuar bazën e tyre të klientëve duke testuar një grup klientësh të njohur për mbipërfaqësim të nëngrupeve të ndryshme demografike (p.sh., gra, njerëz nën 30 vjeç).

Shpërndarjet e lidhura

Le të jetë $X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)$ dhe $p=K/N$ .

• Nëse $n=1$ atëherë $X$ ka një shpërndarje Bernoulli me parametër $p$ .
• Le të ketë $Y$ një shpërndarje binomiale me parametra $n$ dhe $p$ ; kjo modelon numrin e sukseseve në problemin analog të kampionimit me zëvendësim. Nëse $N$ dhe $K$ janë të mëdha në krahasim me $n$, dhe $p$ nuk është afër 0 ose 1, atëherë $X$ dhe $Y$ kanë shpërndarje të ngjashme, dmth. $P(X\leq k)\approx P(Y\leq k)$ .
• Nëse $n$ është e madhe, $N$ dhe $K$ janë të mëdha në krahasim me $n$, dhe $p$ nuk është afër 0 ose 1 atëherë

$P(X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)$

ku $\Phi$ është funksioni standard i shpërndarjes normale

Tabela e mëposhtme përshkruan katër shpërndarje që lidhen me numrin e sukseseve në një sekuencë tërheqjesh:

	Me zëvendësim	Asnjë zëvendësim
Numri i caktuar i tërheqjeve	shpërndarja binomiale	shpërndarja hipergjeometrike
Duke pasur parasysh numrin e dështimeve	shpërndarje binomiale negative	shpërndarje hipergjeometrike negative

Shpërndarja hipergjeometrike me shumë ndryshore

Shpërndarja hipergjeometrike shumëndryshore

Parametrat	$c\in \mathbb {N} _{+}=\lbrace 1,2,\ldots \rbrace$ $(K_{1},\ldots ,K_{c})\in \mathbb {N} ^{c}$ $N=\sum _{i=1}^{c}K_{i}$ $n\in \lbrace 0,\ldots ,N\rbrace$
Mbështetës	$\left\{\mathbf {k} \in \left(\mathbb {Z} _{0+}\right)^{c}\,:\,\forall i\ k_{i}\leq K_{i},\sum _{i=1}^{c}K_{i}=N\right\}$
FMGJ	${\frac {\prod \limits _{i=1}^{c}{\binom {K_{i}}{k_{i}}}}{\binom {N}{n}}}$
Vlera e pritur	$\operatorname {E} (k_{i})=n{\frac {K_{i}}{N}}$
Varianca	$\operatorname {Var} (k_{i})=n{\frac {N-n}{N-1}}\;{\frac {K_{i}}{N}}\left(1-{\frac {K_{i}}{N}}\right)$ $\operatorname {Cov} (k_{i},k_{j})=-n{\frac {N-n}{N-1}}\;{\frac {K_{i}}{N}}{\frac {K_{j}}{N}}$ $\operatorname {Corr} (k_{i},k_{j})=-{\sqrt {\frac {K_{i}K_{j}}{\left(N-K_{i}\right)\left(N-K_{j}\right)}}}$

Modeli i një urne me mermerë të gjelbër dhe të kuq mund të shtrihet në rastin kur ka më shumë se dy ngjyra mermeri. Nëse ka $K_{i}$ mermerë të ngjyrës $i$ në urnë dhe ju merrni $n$ mermerë në mënyrë të rastësishme pa zëvendësim, atëherë numri i mermerëve të secilës ngjyrë në mostër $(k_{1},k_{2},...,k_{c})$ ka shpërndarjen hipergjeometrike shumëndryshore:

$\Pr(X_{1}=k_{1},\ldots ,X_{c}=k_{c})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{c}{\binom {K_{i}}{k_{i}}}}{\binom {N}{n}}}$

Shembull

Supozoni se në një urnë ka 5 mermerë të zinj, 10 të bardhë dhe 15 të kuq. Nëse zgjidhen gjashtë mermere pa zëvendësim, probabiliteti që të zgjidhen saktësisht dy nga çdo ngjyrë është

$P(2{\text{ black}},2{\text{ white}},2{\text{ red}})={{{5 \choose 2}{10 \choose 2}{15 \choose 2}} \over {30 \choose 6}}=0.079575596816976$

Ndodhja dhe aplikimet