Harta lineare

Në matematikë, dhe më konkretisht në algjebër lineare, një hartë lineare (e quajtur edhe një hartografi lineare, transformim linear, homomorfizëm i hapësirës vektoriale, ose në disa kontekste funksion linear ) është një hartë $V\to W$ ndërmjet dy hapësirave vektoriale që ruan veprimet e mbledhjes së vektorit dhe shumëzimit skalar . Të njëjtët emra dhe i njëjti përkufizim përdoren gjithashtu për rastin më të përgjithshëm të moduleve mbi një unazë ; shih homomorfizmin e modulit .

$The function f : R 2 → R 2 {\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} with f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is a linear map. This function scales the x {\textstyle x} component of a vector by the factor 2 {\textstyle 2} .$

Funksioni ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ with ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ është një hartë lineare. Ky funksion shkallëzon përbërësin ${\textstyle x}$ të një vektori me faktor ${\textstyle 2}$ .
$The function f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is additive: It does not matter whether vectors are first added and then mapped or whether they are mapped and finally added: f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$

Funksioni ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ është mbledhës: Nuk ka rëndësi nëse vektorët mblidhen në fillim dhe pastaj hartëzohen ose anasjelltas: ${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
$The function f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is homogeneous: It does not matter whether a vector is first scaled and then mapped or first mapped and then scaled: f ( λ a ) = λ f ( a ) {\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Funksioni ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ është homogjen: Nuk ka rëndësi nëse një vektor shkallëzohet në fillim dhe pastaj hartëzohet ose nëse hartëzohet në fillim pastaj shkallëzohet: ${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Nëse një hartë lineare është një bijeksion, atëherë ajo quhet një izomorfizëm linear. Në rastin kur $V=W$ , një hartë lineare quhet endomorfizëm linear . Ndonjëherë termi operator linear i referohet këtij rasti, por termi "operator linear" mund të ketë kuptime të ndryshme për konventa të ndryshme: për shembull, mund të përdoret për të theksuar se $V$ dhe $W$ janë hapësira reale vektoriale (jo domosdoshmërisht me $V=W$ ), ose mund të përdoret për të theksuar këtë $V$ është një hapësirë funksioni, e cila është një konventë e zakonshme në analizën funksionale . Ndonjëherë termi funksion linear ka të njëjtin kuptim si harta lineare, ndërsa në analizë jo.

Një hartë lineare nga $V$ te $W$ gjithmonë harton origjinën e $V$ tek origjina e $W$ . Për më tepër, ai harton nënhapësira lineare në $V$ në nënhapësira lineare në $W$ (ndoshta të një dimensioni më të ulët); ^[1] për shembull, ai harton një rrafsh përmes origjinës në $V$ në një aeroplan përmes origjinës në $W$ , një drejtëz përmes origjinës në $W$ , ose thjesht origjina në $W$ . Hartat lineare shpesh mund të përfaqësohen si matrica, dhe shembuj të thjeshtë përfshijnë transformime lineare të rrotullimit dhe reflektimit.

Në gjuhën e teorisë së kategorive, hartat lineare janë morfizma të hapësirave vektoriale, dhe ato formojnë një kategori të barabartë me atë të matricave .

Përkufizimi dhe pasojat e para

Le $V$ dhe $W$ të jenë hapësira vektoriale mbi të njëjtën fushë $K$ . Një funksion $f:V\to W$ thuhet se është një hartë lineare nëse për çdo dy vektorë ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ dhe çdo skalar $c\in K$ plotësohen dy kushtet e mëposhtme:

Mbledhshmëria / funksionimi i mbledhjes $f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )$
Homogjeniteti i shkallës 1 / operacioni i shumëzimit skalar $f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )$

Kështu, një hartë lineare thuhet se është ruan operacionin . Me fjalë të tjera, nuk ka rëndësi nëse harta lineare zbatohet para (anët e djathta të shembujve të mësipërm) apo pas (anët e majta të shembujve) veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit skalar.

Nga vetia e shoqërimit të veprimit të mbledhjes i shënuar si +, për çdo vektor ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$ dhe skalarët ${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ vlen barazia e mëposhtme: ^[2] ^[3] $f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).$ Kështu, një hartë lineare është ajo që ruan kombinime lineare .

Shembuj

Një shembull prototipik që u jep hartave lineare emrin e tyre, është një funksion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx$ , grafiku i të cilit është një drejtëz përmes origjinës.^[4]
Në përgjithësi, çdo homoteti ${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$ e përqëndruar në origjinën e hapësirës vektoriale është një hartë lineare (këtu $c$ është një skalar).
Harta zero ${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$ midis dy hapësirave vektoriale (mbi të njëjtën fushë) është lineare.
Harta identitet mbi çdo modul është një operator linear.
Për numrat realë, harta ${\textstyle x\mapsto x^{2}}$ nuk është lineare.
Për numrat realë, harta ${\textstyle x\mapsto x+1}$ nuk është lineare (por është një transformim afin).
Nëse $A$ është një matricë $m\times n$ , atëherë $A$ është një hartë lineare nga $\mathbb {R} ^{n}$ në $\mathbb {R} ^{m}$ duke çuar një vektor shtyllë $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ tek vektori shtyllë $A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}$ .
Nëse ${\textstyle f:V\to W}$ është një izometri midis hapësirave të normuara reale të tilla që ${\textstyle f(0)=0}$ atëherë $f$ është një hartë lineare. Ky rezultat përgjithësisht nuk vlen për hapësirat e normuara komplekse.^[5]
Diferencimi përkufizon një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të derivueshëm tek hapësira e të gjithë funksioneve. Dhe në të vërtetë, ${\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.$
Një integral i caktuar mbi një interval $I$ është një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të integrueshëm me vlera reale nga $I$ në $\mathbb {R}$ . Dhe në të vërtetë, $\int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.$
Një integral i pacaktuar (ose antiderivat) me një pikë integrimi të caktuar fillestare përkufizon një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të integrueshëmme vlera reale në $\mathbb {R}$ tek hapësira e të gjithë funksioneve të diferencueshëm me vlera reale në $\mathbb {R}$ . Pa një pikë fillimi fikse, integrali i pacaktuar hartëzon në hapësirën e herësit të funksioneve të diferencueshme nga hapësira lineare e funksioneve konstante .
Nëse $V$ dhe $W$ janë hapësira vektoriale me dimensione të fundme mbi një fushë $F$ , me dimensione respektive $m$ dhe $n$ , atëherë funksioni hartëzon hartat linerae ${\textstyle f:V\to W}$ drejt matricave $n \times m$ në mënyrën e përshkruar tek § Matrices (më poshtë) është një hartë lineare.
Pritja matematike e një ndryshoreje rasti (që në fakt është një funksion, dhe si i tillë një element i një hapësire vektoriale) është lineare, sepse për ndryshoret e rastit $X$ dhe $Y$ marrim $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ dhe $E[aX]=aE[X]$ , por varianca e një ndryshoreje rasti nuk është lineare.

Funksioni ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ me ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ është një hartë lineare. Ky funksion shkallëzon përbërësin ${\textstyle x}$ të një vektori me faktor ${\textstyle 2}$ .
Funksioni ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ është mbledhës: Nuk ka rëndësi nëse vektorët mblidhen në fillim pastaj hartëzohen ose hartëzohen pastaj mblidhen : ${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
Funksioni ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ është homogjen: Nuk ka rëndësi nëse një vektor shkallëzohet në fillim dhe pastaj hartëzohet ose hartëzohetdhe pastaj shkallëzohet: ${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Matricat

Nëse $V$ dhe $W$ janë hapësira vektoriale me dimensione të fundme dhe përcaktohet një bazë për secilën hapësirë vektoriale, pastaj çdo hartë lineare nga $V$ te $W$ mund të përfaqësohet nga një matricë . ^[6] Kjo është e dobishme sepse lejon llogaritjet konkrete. Matricat japin shembuj të hartave lineare: nëse $A$ është një e vërtetë $m\times n$ matricë, atëherë $f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$ përshkruan një hartë lineare $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ (shih hapësirën Euklidiane ).

Nëse ${\textstyle f:V\to W}$ është një hartë lineare, $f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),$

që implikon se funksioni f përcaktohet tërësisht nga vektorët $f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$ . Tani le $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ të jetë bazë për $W$ . Atëherë ne mund të përfaqësojmë çdo vektor $f(\mathbf {v} _{j})$ si $f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.$

Matricat e një transformimi linear mund të përfaqësohen vizualisht:

Matrica për ${\textstyle T}$ në lidhje me ${\textstyle B}$ : ${\textstyle A}$
Matrica për ${\textstyle T}$ në lidhje me ${\textstyle B'}$ : ${\textstyle A'}$
Matrica e tranzicionit nga ${\textstyle B'}$ te ${\textstyle B}$ : ${\textstyle P}$
Matrica e tranzicionit nga ${\textstyle B}$ te ${\textstyle B'}$ : ${\textstyle P^{-1}}$

Skeda:Linear transformation visualization.svg

Marrëdhënia midis matricave në një transformim linear

Shembuj në dy dimensione

Në hapësirën dydimensionale, hartat lineare R përshkruhen me matrica 2 × 2. Këto janë disa shembuj:

rrotullimi
- me 90 gradë në të kundërt të akrepave të orës: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
- me një kënd θ në të kundërt të akrepave të orës: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$
reflektimi
- përmes boshtit x : $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
- përmes boshtit y : $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
- përmes një drejtëze që krijon një kënd θ me origjinën: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}$
Shkallëzimi me 2 në të gjitha drejtimet: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I}$
Harta e prerjes horizontale : $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}$
animi i boshtit y nga një kënd θ : $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}$
harta e shtrydhjes : $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}$
projeksioni në boshtin y : $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Nëse një hartë lineare përbëhet vetëm nga rrotullim, reflektim dhe/ose shkallëzim uniform, atëherë harta lineare është një transformim linear konform .

Zbatimet

Një zbatim specifik i hartave lineare është për transformimet gjeometrike, si ato të kryera në grafikën kompjuterike, ku përkthimi, rrotullimi dhe shkallëzimi i objekteve 2D ose 3D kryhet duke përdorur një matricë transformimi . Hartëzimi linear përdoret gjithashtu si një mekanizëm për përshkrimin e ndryshimit: për shembull në llogaritje korrespondojnë me derivatet; ose në relativitet, përdoret si një pajisje për të mbajtur gjurmët e transformimeve vendore të sitemeve të referimit.

Një aplikim tjetër i këtyre transformimeve është në optimizimin e përpiluesit të kodit të ndërthurur dhe në paralelizimin e teknikave të përpiluesit .

^ Rudin 1991, p. 14

Here are some properties of linear mappings ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ whose proofs are so easy that we omit them; it is assumed that ${\textstyle A\subset X}$ and ${\textstyle B\subset Y}$ :
^ Rudin 1991, p. 14.
^ Rudin 1976, p. 206.
^ "terminology - What does 'linear' mean in Linear Algebra?". Mathematics Stack Exchange. Marrë më 2021-02-17. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Wilansky 2013.
^ Rudin 1976, p. 210

[1] Rudin 1991, p. 14

Here are some properties of linear mappings ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ whose proofs are so easy that we omit them; it is assumed that ${\textstyle A\subset X}$ and ${\textstyle B\subset Y}$ :

[2] Rudin 1991, p. 14.

[3] Rudin 1976, p. 206.

[4] "terminology - What does 'linear' mean in Linear Algebra?". Mathematics Stack Exchange. Marrë më 2021-02-17. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[FOOTNOTEWilansky2013-5] Wilansky 2013.

[6] Rudin 1976, p. 210

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]