Funksioni i deltës së Dirakut

Në analizën matematikore, funksioni delta i Dirakut (ose shpërndarja δ ), i njohur gjithashtu si impulsi i njësisë, është një funksion i përgjithësuar në numrat realë, vlera e të cilit është zero kudo përveç zeros, dhe integrali i të cilit mbi të gjithë vijën reale është i barabartë me një. Meqenëse nuk ka asnjë funksion që ka këtë veti, modelimi i "funksionit" delta përfshin në mënyrë rigoroze përdorimin e limiteve ose, siç është e zakonshme në matematikë, teorinë e masës dhe teorinë e shpërndarjeve .

Paraqitja skematike e funksionit të deltës së Dirakut me një vijë të kapërcyer nga një shigjetë. Lartësia e shigjetës zakonisht ka për qëllim të specifikojë vlerën e çdo konstante shumëzuese, e cila do të japë zonën nën funksion. Konventa tjetër është të shkruani zonën pranë majës së shigjetës.

Delta e Dirakut si kufi kur $a\to 0$ (në kuptimin e shpërndarjeve ) të sekuencës së shpërndarjeve normale me qendër zero $\delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}$

Funksioni delta u prezantua nga fizikani Paul Dirac, dhe që atëherë është aplikuar në mënyrë rutinore në fizikë dhe inxhinieri për të modeluar masat pikësore dhe impulset e menjëhershme. Quhet funksioni delta sepse është një analog i vazhdueshëm i funksionit delta Kronecker, i cili zakonisht përcaktohet në një domen diskret dhe merr vlerat 0 dhe 1. Rigoroziteti matematikor i funksionit delta u kundërshtua derisa Laurent Schwartz zhvilloi teorinë e shpërndarjeve, ku përkufizohet si një formë lineare që vepron mbi funksionet.

Motivimi dhe pamjea e përgjithshme

Grafiku i deltës së Dirakut zakonisht mendohet se ndjek të gjithë boshtin x dhe boshtin pozitiv y . Delta e Dirakut përdoret për të modeluar një funksion të lartë kërcyes (një impuls ) dhe abstraksione të tjera të ngjashme si një ngarkesë pikë, masë pikë ose pikë elektroni . Për shembull, për të llogaritur dinamikën e goditjes së një topi të bilardos, mund të përafrohet forca e goditjes nga një delta e Dirakut. Duke vepruar kështu, njeriu jo vetëm thjeshton ekuacionet, por gjithashtu mund të llogarisë lëvizjen e topit, vetëm duke marrë parasysh impulsin total të përplasjes, pa një model të detajuar të të gjithë transferimit të energjisë elastike në nivelet nënatomike (për shembull).

Për të qenë specifik, supozoni se një top i bilardos gjëndet në prehje. Në kohë $t=0$ goditet nga një top tjetër, duke i dhënë impuls P, me njësi kg⋅m⋅s⁻¹ . Shkëmbimi i impulsit nuk është në fakt i menjëhershëm, duke u ndërmjetësuar nga procese elastike në nivel molekular dhe nënatomik, por për qëllime praktike është e përshtatshme të konsiderohet se transferimi i energjisë është efektivisht i menjëhershëm. Prandaj forca është P δ(t) ; njësitë e δ(t) janë s⁻¹ .

Për të modeluar këtë situatë në mënyrë më rigoroze, supozoni se forca shpërndahet në mënyrë uniforme në një interval të vogël kohor $\Delta t=[0,T]$. Kjo është,

$$F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{përndryshe}}.\end{cases}}$$

Atëherë impulsi në çdo kohë t gjendet me integrim:

$$p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{përndryshe.}}\end{cases}}$$

Tani, situata e modelit të një transferimi të menjëhershëm të momentit kërkon marrjen e limitit kur Δt → 0, duke dhënë një rezultat kudo përveç në 0 :

$$p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}$$

Këtu funksionet $F_{\Delta t}$ mendohen si përafrime të dobishme për idenë e transferimit të menjëhershëm të impulsit.

Përkufizimet

Funksioni i deltës së Dirakut $\delta (x)$ mund të mendohet lirshëm si një funksion në boshtin real i cili është zero kudo, përveç në origjinë, ku është i pafundëm,

$$\delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$$

dhe e cila është gjithashtu e kufizuar për të kënaqur identitetin

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$$

Si masë

Një mënyrë për të kapur në mënyrë rigoroze nocionin e funksionit të deltës Dirac është të përcaktojmë një masë, të quajtur masa e Dirakut, e cila pranon një nënbashkësi A të vijës reale R si argument, dhe kthen δ(A) = 1 nëse 0 ∈ A, dhe δ(A) = 0 ndryshe. Nëse funksioni delta konceptohet si modelim i një mase pikësore të idealizuar në 0, atëherë δ(A) përfaqëson masën që përmban bashkësia A Më pas mund të përkufizohet integrali kundrejt δ si integrali i një funksioni kundrejt kësaj shpërndarjeje në masë. Formalisht, integrali i Lebegut siguron pajisjen e nevojshme analitike. Integrali i Lebegut në lidhje me masën δ plotëson

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)$$

për të gjitha funksionet e vazhdueshme f të mbështetura në mënyrë kompakte. Masa δ nuk është absolutisht e vazhdueshme në lidhje me masën e Lebegut - në fakt, ajo është një masë njëjëse . Rrjedhimisht, masa delta nuk ka derivat Radon-Nikodym (në lidhje me masën e Lebegut) - nuk ka funksion të vërtetë për të cilin vetia

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$$

qëndron. Si rezultat, shënimi i fundit është një abuzim i përshtatshëm i shënimit, dhe jo një integral standard ( Riemann ose Lebeg ).

Si shpërndarje

Në teorinë e shpërndarjeve, një funksion i përgjithësuar konsiderohet jo një funksion në vetvete, por vetëm përmes mënyrës se si ai ndikon në funksionet e tjera kur "integrohet" kundrejt tyre. Në përputhje me këtë filozofi, për të përcaktuar siç duhet funksionin delta, mjafton të thuhet se cili është "integrali" i funksionit delta kundrejt një funksioni testues mjaftueshëm "të mirë" φ . Funksionet e testimit njihen gjithashtu si funksionet e kërcitjes . Nëse funksioni delta është kuptuar tashmë si masë, atëherë integrali i Lebegut i një funksioni testues kundrejt asaj mase siguron integralin e nevojshëm.

Një hapësirë tipike e funksioneve testuese përbëhet nga të gjitha funksionet e lëmuara në R me mbështetje kompakte që kanë aq derivate sa kërkohet. Si shpërndarje, delta e Dirakut është një funksional linear në hapësirën e funksioneve testuese dhe përcaktohet nga

$\delta [\varphi ]=\varphi (0)$Stampa:NumBlkpër çdo funksion provë φ .

Që δ të jetë si duhet një shpërndarje, ajo duhet të jetë e vazhdueshme në një topologji të përshtatshme në hapësirën e funksioneve testuese. Në përgjithësi, që një funksional linear S në hapësirën e funksioneve testuese të përcaktojë një shpërndarje, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që, për çdo numër të plotë pozitiv N të ketë një numër të plotë M_N dhe një konstante C_N të tillë që për çdo funksion provë φ, merret mosbarazimi

$$\left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|$$

ku sup përfaqëson supremin . Me shpërndarjen δ, dikush ka një pabarazi të tillë (me C_N = 1)) me M_N = 0 për të gjithë N. Kështu δ është një shpërndarje e rendit zero. Për më tepër, është një shpërndarje me mbështetje kompakte ( mbështetja është {0} ).

Shpërndarja delta gjithashtu mund të përcaktohet në disa mënyra ekuivalente. Për shembull, është derivati shpërndarës i funksionit të hapit Heaviside . Kjo do të thotë se për çdo funksion provë φ, një ka

$$\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.$$

Intuitivisht, nëse integrimi me pjesë lejohej, atëherë integrali i fundit duhet të thjeshtohet në

$$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,$$

dhe në të vërtetë, një formë e integrimit nga pjesët lejohet për integralin Stieltjes, dhe në atë rast, merret

$$-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).$$

Vetitë

Shkallëzimi dhe simetria

Funksioni delta plotëson veçorinë e mëposhtme të shkallëzimit për një α skalar jozero:

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$$

dhe kështu

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}$Stampa:NumBlkProva e vetisë së shkallëzimit: $$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{a}}g(0).$$ ku përdoret një ndryshim i ndryshores x′ = ax . Nëse a është negative, dmth, a = −|a|, atëherë $$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).$$ Kështu, $\delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)$.

Në veçanti, funksioni delta është një shpërndarje e barabartë (simetrike), në kuptimin që

$$\delta (-x)=\delta (x)$$

e cila është homogjene e shkallës − 1 .

Vetitë algjebrike

Prodhimi shpërndarës i δ me x është i barabartë me zero:

$$x\,\delta (x)=0.$$

Në përgjithësi, $(x-a)^{n}\delta (x-a)=0$ për të gjithë numrat e plotë pozitivë $n$ .

Përkthimi

Integrali i çdo funksioni i shumëzuar me deltën e Dirakut të vonuar në kohë $\delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)$ është

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).$$

Kjo nganjëherë referohet si vetia e shoshitjes ose vetia e marrjes së kampioneve . Funksioni delta thuhet se "shoshit" vlerën e f(t) në t = T.

Nga kjo rrjedh se efekti i konvolucionit të një funksioni f(t) me deltën e Dirakut me vonesë kohore është me vonesën kohore f(t) me të njëjtën sasi:

$${\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}$$

Kompozim me një funksion

Në përgjithësi, shpërndarja delta mund të përbëhet me një funksion të lëmuar g(x) në mënyrë të tillë që të zbatohet formula e njohur e ndryshimit të ndryshoreve, që

$$\int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du$$

me kusht që g të jetë një funksion vazhdimisht i diferencueshëm me g′′ askund zero. Kjo do të thotë, ekziston një mënyrë unike për t'i dhënë kuptim shpërndarjes $\delta \circ g$ në mënyrë që ky identitet të ruhet për të gjitha funksionet e testimit të mbështetur kompakt f . Prandaj, domeni duhet të ndahet për të përjashtuar pikën g′ = 0 . Kjo shpërndarje plotëson δ(g(x)) = 0 nëse g nuk është askund zero, dhe përndryshe nëse g ka një rrënjë reale në x 0, atëherë

$$\delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.$$

Transformimi Furier

Funksioni delta është një shpërndarje e temperuar, dhe për këtë arsye ka një transformim Furier të mirëpërcaktuar. Formalisht, gjendet

$${\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.$$

Derivatet

Derivati i shpërndarjes së deltës së Dirakut, i shënuar δ′ dhe i quajtur gjithashtu derivati kryesor i deltës së Diracit ose derivati i deltës së Diracit, siç përshkruhet në Laplacian të treguesit, përcaktohet në funksionet e testit të lëmuar të mbështetur në mënyrë kompakte φ nga $$\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$$

Barazia e parë këtu është një lloj integrimi me pjesë, sepse nëse δ do të ishte një funksion i vërtetë atëherë $$\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).$$

Me induksion matematikor, derivati i k-të i δ përcaktohet në mënyrë të ngjashme si shpërndarja e dhënë në funksionet e testit nga

$$\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$$

Krehër diraku

Një krehër i Dirakut është një seri e pafundme funksionesh delta të Dirakut të vendosura në intervale prej T

Një i ashtuquajtur "treni i pulsit" uniform i matjeve të deltës Dirac, i cili njihet si një krehër Dirac, ose si shpërndarja Sha, krijon një funksion kampionimi, i përdorur shpesh në përpunimin e sinjalit dixhital (PNS) dhe në analizën e sinjalit të kohës diskrete. Krehja e Dirakut jepet si shuma e pafundme, kufiri i së cilës kuptohet në kuptimin e shpërndarjes,

$$\operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),$$

që është një varg masash pikësore në secilin nga numrat e plotë.

Zbatimet

Teoria e probabilitetit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, funksioni delta i Dirakut përdoret shpesh për të përfaqësuar një shpërndarje diskrete, ose një shpërndarje pjesërisht diskrete, pjesërisht të vazhdueshme, duke përdorur një funksion të densitetit të probabilitetit (i cili zakonisht përdoret për të përfaqësuar shpërndarje absolutisht të vazhdueshme). Për shembull, funksioni i densitetit të probabilitetit f(x) i një shpërndarje diskrete të përbërë nga pika x = { x₁, ..., x_n }, me probabilitete përkatëse p₁, ... , p_n, mund të shkruhet si

$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$$

Si shembull tjetër, merrni parasysh një shpërndarje në të cilën 6/10 e kohës kthen një shpërndarje normale standarde, dhe 4/10 e kohës kthen saktësisht vlerën 3.5 (dmth. një shpërndarje përzierjeje pjesërisht e vazhdueshme, pjesërisht diskrete). Funksioni i densitetit të kësaj shpërndarjeje mund të shkruhet si

$$f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).$$

Funksioni delta përdoret gjithashtu për të përfaqësuar funksionin rezultues të densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastit që transformohet nga funksioni vazhdimisht i diferencueshëm. Nëse Y = g(X) është një funksion i vazhdueshëm i diferencueshëm, atëherë dendësia e Y mund të shkruhet si

$$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))\,dx.$$

Funksioni delta përdoret gjithashtu në një mënyrë krejtësisht të ndryshme për të përfaqësuar kohën vendoree të një procesi difuzioni (si lëvizja Braunuane ). Koha vendore e një procesi stokastik B(t) jepet nga $$\ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds$$ dhe përfaqëson sasinë e kohës që kalon procesi në pikën x në intervalin e procesit. Më saktë, në një dimension mund të shkruhet ky integral $$\ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds$$ ku $\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}$ është funksioni tregues i intervalit $[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ].$

Mekanika kuantike

Funksioni delta është i përshtatshëm në mekanikën kuantike . Funksioni valor i një grimce jep amplitudën e probabilitetit për të gjetur një grimcë brenda një rajoni të caktuar të hapësirës. Funksionet valore supozohen të jenë elementë të hapësirës Hilbert L² të funksioneve të integrueshme katrore, dhe probabiliteti total për të gjetur një grimcë brenda një intervali të caktuar është integrali i madhësisë së funksionit të valës në katror mbi intervalin. Një grup { | φ n ⟩ } i funksioneve valore është ortonormale nëse

$$\langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm},$$

Mekanika strukturore

Funksioni delta mund të përdoret në mekanikën strukturore për të përshkruar ngarkesat kalimtare ose ngarkesat pika që veprojnë në struktura. Mund të shkruhet ekuacioni drejtues i një sistemi të thjeshtë mase-sustë të ngacmuar nga një impuls i papritur i forcës I në kohën t = 0

$$m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),$$

ku m është masa, ξ është devijimi dhe k është konstanta e sustës .

Si shembull tjetër, ekuacioni që rregullon devijimin statik të një trau të hollë është, sipas teorisë Euler-Bernoulli ,

$$EI{\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=q(x),$$

ku EI është ngurtësia e përkuljes së traut, w është devijimi, x është koordinata hapësinore dhe q(x) është shpërndarja e ngarkesës. Nëse një tra ngarkohet nga një forcë pikë F në x = x₀, shpërndarja e ngarkesës shkruhet

$$q(x)=F\delta (x-x_{0}).$$

Duke qenë se integrimi i funksionit delta rezulton në funksionin e hapit Heaviside, rrjedh se devijimi statik i një trau të hollë që i nënshtrohet ngarkesave të shumta pikash përshkruhet nga një grup polinomesh pjesë-pjesë.